קו אחר קו

התוצאות עצמן: קלפי מול קלפי וליל הבחירות, קלפי אחר קלפי.

בכנסת יש 120 מנדטים, וממשלה צריכה את אמונם של 61. אף רשימה לא זכתה ב-61 לבדה, ולכן כל ממשלה היא קואליציה. מאז 2019 נערכו בישראל שש מערכות בחירות, חמש מהן בפחות מארבע שנים. בין אפריל 2019 לקיץ 2020 היו שלוש מערכות בחירות, ובמשך שנה לא קמה ממשלה. השאלה היא למה, כשהמנדטים עצמם מאפשרים מאות רובים.

רשימות כנקודות, קווים אדומים כצלעות

ציירו כל רשימה בכנסת כנקודה. בכל פעם ששתי רשימות לא ישבו באותה ממשלה, חברו ביניהן בקו. ממשלה היא אז קבוצת נקודות שאין קו בין אף שתיים מהן, ששוות יחד לפחות 61 מנדטים. מתמטיקאים קוראים לקבוצה שאין בתוכה קווים קבוצה בלתי תלויה, והשאלה “האם יש ממשלה?” הופכת לשאלה “האם יש קבוצה בלתי תלויה במשקל 61 או יותר?”

באופן כללי זו שאלה קשה, אבל לא עם אחת עשרה רשימות. יש $2^{11} = 2{,}048$ קבוצות של אחת עשרה רשימות, ומחשב בודק את כולן בשבריר שנייה. כך גם טיעון קצר ביד, כמו בהמשך.

צריך שני סוגים של אילוצים, לא אחד. וטו אומר ששתי רשימות לא ישבו יחד: זו צלע. נאמנות אומרת שרשימה תשב רק בממשלה שכוללת רשימה אחרת: ש״ס לא תצטרף לממשלה בלי הליכוד. נאמנות אינה צלע, אבל קל באותה מידה לבדוק אותה.

ארבעה קווים אדומים

ארבעת הקווים האלה מוחלים באותה דרך על כל שש מערכות הבחירות, ורק הרשימות שהם חלים עליהן משתנות בכל פעם:

כל אחד מהם הוא פישוט של משהו שמפלגות אמרו ועשו. בני גנץ “הבטיח במהלך הבחירות שלא להצטרף לקואליציה בראשות נתניהו”; המשא ומתן באפריל 2019 התפרק על “סדקים בשאלת גיוס החרדים בתוך הקואליציה של נתניהו”; ב-2021 הציונות הדתית “שללה להיות חלק מכל רוב ימני שיישען על” תמיכת רע״ם מבחוץ. הקווים אינם חוקים. מה שמעניין הוא מה קורה כשאחד מהם נשבר.

שש מערכות בחירות

“דרכים ל-61 לפי החשבון” סופר את הקואליציות המנצחות המינימליות: קבוצות של רשימות עם 61 מנדטים או יותר שבהן כל רשימה נחוצה, כך שהוצאה של כל אחת מהן מורידה אל מתחת ל-61. שאר הטבלה הוא מה שנשאר אחרי שמשרטטים את ארבעת הקווים. בכל מערכת בחירות, הטוב ביותר שהקווים מאפשרים הוא הגוש של נתניהו, והשאלה בכל פעם היא אם הוא הגיע ל-61, ואם לא, מי יחצה קו כדי להשלים את החסר.

אפריל 2019. נתניהו “קיבל המלצות מראשי סיעות המייצגות 65 מנדטים”, כולל חמשת המנדטים של אביגדור ליברמן. אבל הגוש עם ליברמן היה ממשלה רק אם קו הגיוס היה נשבר, והוא לא נשבר. בלי ישראל ביתנו היו לגוש 60, אחד פחות מדי. שבירה של קו הגיוס הייתה נותנת את הגוש כולו, 65. בשעות הקטנות של 30 במאי הצביעה הכנסת 74 מול 45 על פיזורה.

ספטמבר 2019. הגוש ירד ל-55. ליברמן, עם 8 מנדטים עכשיו, קרא ל"ממשלה ליברלית רחבה" של הליכוד וכחול לבן, ולא רצה שום רוב עם המפלגות הערביות. גנץ ויאיר לפיד לא הסכימו להצטרף לנתניהו עם המפלגות הדתיות, ולפיד אמר ש"אם נתניהו יפנה את מקומו, תהיה לנו ממשלת אחדות". כל מסלול דרש לשבור קו, ואף קו לא נשבר. נתניהו ואחריו גנץ החזירו את המנדט, וכשהמועד פקע בחצות ב-11 בדצמבר, הכנסת התפזרה שוב.

מרץ 2020. גנץ הוטל להרכיב ממשלה אחרי ש"קיבל תמיכה מ-61 מתוך 120 חברי הכנסת", והרשימה המשותפת ביניהם. אבל המלצה אינה קואליציה. שניים מחברי סיעתו, צבי האוזר ויועז הנדל, אמרו ש"לא יתמכו בממשלה שנשענת על תמיכת הרשימה המשותפת", ואורלי לוי לא תמכה בממשלת מיעוט. בגרף, רשימה אינה נקודה אחת כשחבריה חלוקים. מוציאים את שלושת החברים האלה מהרשימות שלהם, והצד השני, גם עם הרשימה המשותפת, יורד אל מתחת ל-61. אז גנץ שבר במקום זאת את קו נתניהו. הוא חתם עם נתניהו ב-20 באפריל, עם נתניהו ראשון ברוטציה, והממשלה הושבעה ב-17 במאי. היא החזיקה עד שהכנסת התפזרה ב-23 בדצמבר, לפני שהגיע תורו של גנץ.

מרץ 2021. זו הייתה הכנסת המפוצלת ביותר, עם שלוש עשרה רשימות ו-742 רובים מינימליים. כשכל ארבעת הקווים עומדים, שני הצדדים נפלו קצר: לגוש עם ימינה של נפתלי בנט היו 59, ולצד השני 58. לכל צד הייתה אותה דרך החוצה, ארבעת המנדטים של רע״ם, ובכל צד המשמעות הייתה לשבור את הקו הערבי:

הציונות הדתית סירבה. בנט, גדעון סער וליברמן לא. השורה השנייה בטבלה היא הממשלה שהושבעה ב-13 ביוני, עם בנט כראש ממשלה על שבעת המנדטים של ימינה, והיא הקואליציה היחידה שהמודל מוצא בצד הזה כשהקו הערבי נשבר עבור רע״ם אבל לא עבור הרשימה המשותפת. היא אושרה ברוב של 60 מול 59, כשחבר כנסת אחד מרע״ם נמנע וחבר כנסת אחד מימינה כבר הודיע שלא יתמוך בה. הכנסת הצביעה על פיזורה כעבור שנה.

נובמבר 2022. הגוש זכה ב-64 מנדטים, והמודל מוצא ממשלה אחת בדיוק: הליכוד, הציונות הדתית, ש״ס ויהדות התורה. אף קו לא היה צריך להישבר. חלק מהסיבה היה אחוז החסימה, 3.25% מהקולות שרשימה צריכה כדי לזכות במנדט כלשהו. מרצ קיבלה 3.16% ובל״ד 2.91%, כך ששתיהן לא הכניסו אף אחד. בלי אחוז חסימה, לארבע הרשימות של הגוש היו 60 מנדטים.

2026: הוכחה שאין ממשלה

לפי הספירה הסופית: הליכוד 27, ישר! 21, ביחד 12, הרשימה המשותפת 11, הדמוקרטים 8, רע״ם 8, עוצמה יהודית 7, יהדות התורה 7, ישראל ביתנו 7, הציונות הדתית 6, ש״ס 6.

ארבעת הקווים כאן הם:

• נ: ישר!, ביחד, הדמוקרטים וישראל ביתנו לא יכהנו תחת נתניהו.
• ג: ישראל ביתנו לא תשב עם ש״ס או עם יהדות התורה.
• ע: הליכוד, עוצמה יהודית, הציונות הדתית, ש״ס, יהדות התורה וישראל ביתנו לא ישבו עם רע״ם, והרשימה המשותפת לא מצטרפת לשום ממשלה.
• ל: ש״ס, יהדות התורה, עוצמה יהודית והציונות הדתית יושבות רק עם הליכוד.

עם אלה, ההוכחה צריכה שני מקרים.

1. הליכוד בפנים. לפי קו נ, ישר!, ביחד, הדמוקרטים וישראל ביתנו בחוץ. לפי קו ע, גם רע״ם והרשימה המשותפת. מה שנשאר הוא הליכוד, עוצמה יהודית, הציונות הדתית, ש״ס ויהדות התורה: 53.
2. הליכוד בחוץ. לפי קו ל, גם ש״ס, יהדות התורה, עוצמה יהודית והציונות הדתית בחוץ. לפי קו ע, גם הרשימה המשותפת. מה שנשאר הוא ישר!, ביחד, הדמוקרטים, ישראל ביתנו ורע״ם, 56, אבל לפי קו ע ישראל ביתנו ורע״ם לא יכולות להיות שתיהן בפנים. הטוב ביותר הוא 49.

אף אחד מהם לא מגיע ל-61, ולכן כשכל ארבעת הקווים עומדים אין ממשלה. ∎

ההוכחה קצרה כי הקווים חותכים את הכנסת לשני חלקים שאי אפשר לחבר: הגוש של נתניהו בצד אחד, כל השאר בצד השני, ואף אחד מהם לא גדול מספיק. זו גם הצורה של 2019 ו-2020. מה שהשתנה הוא גודל החלקים.

איזה קו נשבר

שלושה מסלולים נפתחים כשקווים נשברים, וכל אחד מהם הוא תרחיש שכבר נדון בעיתונות:

למסלול הראשון יש עכשיו תומך פומבי בתוך הליכוד. ב-29 באוקטובר קראו חיים ביבס, ראש עיריית מודיעין מטעם הליכוד ויו״ר מרכז השלטון המקומי, ושי חג׳ג׳, ראש מרכז המועצות האזוריות, לראשי המפלגות לפעול להקמת “ממשלת אחדות לאומית רחבה”, כי “הציבור מיצה את סבבי הבחירות החוזרים” ו"סבב בחירות נוסף לא ישנה את התמונה". בשפה של הרשומה הזו, הקריאה שלהם מבקשת לשבור קו: “מחלוקת אינה יכולה להפוך לחרם קבוע”. הקריאה לא אומרת מי יעמוד בראשה, וזו בדיוק השאלה שעליה קו נתניהו עומד.

המסלול החרדי הוא היחיד שדורש לשבור שני קווים ולא אחד. עם רע״ם במקום ישראל ביתנו הוא מגיע ל-62, אבל אז הרשימות החרדיות צריכות לשבת עם רשימה ערבית. גם שבירה של קו הנאמנות לבדו נותנת 61 על הנייר, עם ישר!, ביחד, הדמוקרטים, עוצמה יהודית, יהדות התורה והציונות הדתית, אבל רק משום שארבעת הקווים לא אומרים דבר על ישיבה של עוצמה יהודית עם הדמוקרטים. אף אחד לא מציע את זה.

מסלול אחד לא מופיע בגרף: ממשלת מיעוט, שהרשימות הערביות תומכות בה מבחוץ ולא מצטרפות אליה. ההשבעה דורשת יותר קולות בעד מאשר נגד, לא 61 חברים בקואליציה. לישר!, ביחד והדמוקרטים, עם הרשימה המשותפת ורע״ם שמצביעות בעדם, יש 60; לגוש של נתניהו ולליברמן יש 60 נגד. תיקו נכשל. אם ליברמן מצביע בעד, היא עוברת ברוב של 67 מול 53. כך שגם מסלול המיעוט מגיע בסוף לקו הערבי, ולליברמן.

מה המתמטיקה אומרת

1. החשבון אף פעם אינו הבעיה. תמיד יש עשרות או מאות רובים. הפיצול לא מונע הקמת קואליציות; הקווים האדומים מונעים.
2. ארבעה קווים מספיקים כדי להסביר שש מערכות בחירות. כשהם מוחלים באותה דרך בכל פעם, הם לא משאירים ממשלה ב-2019 או במרץ 2020, משאירים שתיים ב-2021 אחרי שקו אחד נשבר, ואחת מהן הממשלה שקמה, ובדיוק את זו שקמה ב-2022.
3. מאז 2019 לגרף יש שני חלקים. הגוש של נתניהו, שמוחזק יחד בנאמנות, וכל השאר, שמוחזקים בנפרד בקו נתניהו ובקו הערבי. ממשלה קמה כשאחד החלקים מגיע ל-61, כמו ב-2022, או כשמישהו בונה גשר על ידי שבירת קו, כמו גנץ ב-2020 ובנט, סער וליברמן ב-2021.
4. גשרים יקרים. הגשר של גנץ קרס לפני שהגיע תורו לכהן כראש ממשלה. הגשר של בנט הפך אותו לראש ממשלה על שבעה מנדטים, והרוב שלו, של קול אחד, החזיק שנה.
5. ב-2026 שני החלקים קטנים. לגוש יש 53, המספר הנמוך ביותר שלו מאז 2019, והטוב ביותר שהצד השני יכול בלי רשימה ערבית הוא 49. אז השאלה היא שוב מי יבנה את הגשר, ובאיזה מחיר.

איך זה נעשה

המנדטים של 2019 עד 2022 הם התוצאות הרשמיות, כפי שbechirot.fyi מחשב אותן מקובצי הוועדה. המנדטים של 2026 הם הספירה הסופית של הוועדה; התוצאות הרשמיות יוגשו לנשיא ב-4 בנובמבר. ארבעת הקווים הם מודל: הגרסה של כל מערכת בחירות מפרטת את הרשימות בכל צד של כל קו, וכל קואליציה ברשומה הזו נמצאה בבדיקה של כל קבוצות הרשימות מולם. שינוי הרשימות של קו אחד משנה את התשובה, והסקריפטים מאפשרים לנסות את זה במהירות.

הציטוטים לקוחים מערכי ויקיפדיה האנגלית על הבחירות של אפריל 2019, ספטמבר 2019, 2020, 2021 ו-2022 ועל הממשלה השלושים וחמש והשלושים ושש, בתרגום שלי, ועל 2026 ממאקו, i24NEWS, ynet, סרוגים ואל-ג׳זירה.